R语言基于Bootstrap的线性回归预测置信区间估计方法分析汽车制动距离

R语言基于Bootstrap的线性回归预测置信区间估计方法分析汽车制动距离

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我们知道参数的置信区间的计算，这些都服从一定的分布(t分布、正态分布），因此在标准误前乘以相应的t分值或Z分值。但如果我们不到合适的分布时，就无法计算置信区间了吗？

幸运的是，有一种方法几乎可以用于计算各种参数的置信区间，这就是Bootstrap 法。

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本文使用BOOTSTRAP来获得预测的置信区间。我们将在线性回归基础上讨论汽车速度和制动距离数据（查看文末了解数据获取方式）。

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 > reg=lm(dist~speed,data=cars)
> points(x,predict(reg,newdata= data.frame(speed=x)))

这是一个单点预测。当我们想给预测一个置信区间时，预测的置信区间取决于参数估计误差。

R语言Bootstrap、百分位Bootstrap法抽样参数估计置信区间分析通勤时间和学生锻炼数据

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预测置信区间

让我们从预测的置信区间开始

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 > for(s in 1:500){
+ indice=sample(1:n,size=n,
+ replace=TRUE)
+ points(x,predict(reg,newdata=data.frame(speed=x)),pch=19,col="blue")

蓝值是通过在我们的观测数据库中重新取样获得的可能预测值。值得注意的是，在残差正态性假设下（回归线的斜率和常数估计值），置信区间（90%）如下所示：

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predict(reg,interval ="confidence",

在这里，我们可以比较500个生成数据集上的值分布，并将经验分位数与正态假设下的分位数进行比较，

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> hist(Yx,proba=TRUE
> boxplot(Yx,horizontal=TRUE
> polygon(c( x ,rev(x I]))))

可以看出，经验分位数与正态假设下的分位数是可以比较的。

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 > quantile(Yx,c(.05,.95))
      5%      95% 
58.6689 70.1281 
 + level=.9,newdata=data.frame(speed=x)) 
       fit      lwr      upr
1 65.00149 59.6594 70.464

感兴趣变量的可能值

现在让我们看看另一种类型的置信区间，关于感兴趣变量的可能值。这一次，除了提取新样本和计算预测外，我们还将在每次绘制时添加噪声，以获得可能的值。

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> for(s in 1:500){
+ indice=sample(1:n,size=n,
+ base=cars[indice,]
+ erreur=residuals(reg)
+ predict(reg,newdata=data.frame(speed=x))+E

在这里，我们可以（首先以图形方式）比较通过重新取样获得的值和在正态假设下获得的值，

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> hist(Yx,proba=TRUE)
> boxplot(Yx) abline(v=U[2:)
> polygon(c(D$x[I,rev(D$x[I])

数值上给出了以下比较

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> quantile(Yx,c(.05,.95))
      5%      95% 
44.4468 96.0157 
U=predict(reg,interval ="prediction"
       fit      lwr      upr
1 67.616 45.16967 90.0905

这一次，右侧有轻微的不对称。显然，我们不能假设高斯残差，因为有更大的正值，而不是负值。考虑到数据的性质，这是有意义的（制动距离不能是负数）。

然后开始讨论在供应中使用回归模型。为了获得具有独立性，有人认为必须使用增量付款的数据，而不是累计付款。

可以创建一个数据库，解释变量是行和列。

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> base=data.frame(
+ y

> head(base,12)
      y   ai bj
1  209 2000  0
2  67 2001  0
  871 2002  0
4  429 200  0
5  4929 2004  0
6  5217 2005  0
7  116 2000  1
8  1292 2001  1
9  1474 2002  1
10 1678 200  1
11 1865 2004  1
12   A 2005  1

然后，我们可以从基于对数增量付款数据的回归模型开始，该模型基于对数正态模型

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 Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)         7.9471     0.1101  72.188 6.5e-15 ***
as.factor(ai)2001   0.1604     0.1109   1.447  0.17849    
as.factor(ai)2002   0.2718     0.1208   2.250  0.04819 *  
as.factor(ai)200   0.5904     0.142   4.99  0.0014 ** 
as.factor(ai)2004   0.555     0.1562   .54  0.005 ** 
as.factor(ai)2005   0.6126     0.2070   2.959  0.0141 *  
as.factor(bj)1     -0.9674     0.1109  -8.726 5.46e-06 ***
as.factor(bj)2     -4.229     0.1208 -5.08 8.50e-12 ***
as.factor(bj)     -5.0571     0.142 -7.684 4.1e-12 ***
as.factor(bj)4     -5.901     0.1562 -7.78 4.02e-12 ***
as.factor(bj)5     -4.9026     0.2070 -2.685 4.08e-10 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.175 on 10 degrees of freedom
  (15 observati deleted due to missingness)
Multiple R-squared: 0.9975,    Adjusted R-squared: 0.9949 
F-statistic: 91.7 on 10 and 10 DF,  p-value: 1.8e-11 

> 
exp(predict(reg1,
+ newdata=base)+summary(reg1)$sigma^2/2)

       [,1]   [,2] [,] [,4] [,5] [,6]
[1,] 2871.2 1091. 41.7 18.  7.8 21.
[2,] 70.8 1281.2 48.9 21.5  9.2 25.0
[,] 768.0 142.1 54.7 24.0 10. 28.0
[4,] 5181.5 1969.4 75.2 .0 14.2 8.5
[5,] 4994.1 1898.1 72.5 1.8 1.6 7.1
[6,] 5297.8 201.6 76.9 .7 14.5 9.

> sum(py[(y)])
[1] 2481.857

这与链式梯度法的结果略有不同，但仍然具有可比性。我们也可以尝试泊松回归（用对数链接）

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glm(y~
+ as.factor(ai)+
+ as.factor(bj),data=base,
+ family=poisson)


Coefficients:
                  Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)        8.05697    0.01551 519.426  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2001  0.06440    0.02090   .081  0.00206 ** 
as.factor(ai)2002  0.20242    0.02025   9.995  < 2e-16 ***
as.factor(ai)200  0.1175    0.01980  15.744  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2004  0.44407    0.019  22.971  < 2e-16 ***
as.factor(ai)2005  0.50271    0.02079  24.179  < 2e-16 ***
as.factor(bj)1    -0.9651    0.0159 -70.994  < 2e-16 ***
as.factor(bj)2    -4.1485    0.0661 -62.729  < 2e-16 ***
as.factor(bj)    -5.10499    0.1262 -40.41  < 2e-16 ***
as.factor(bj)4    -5.94962    0.24279 -24.505  < 2e-16 ***
as.factor(bj)5    -5.01244    0.21877 -22.912  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

    ull deviance: 46695.269  on 20  degrees of freedom
Residual deviance:    0.214  on 10  degrees of freedom
  (15 observati deleted due to missingness)
AIC: 209.52

umber of Fisher Scoring iterati: 4

> predict(reg2,
newdata=base,type="respe")

> sum(py2[(y)])
[1] 2426.985

预测结果与链式梯度法得到的估计值吻合。克劳斯·施密特（Klaus Schmidt）和安吉拉·温什（Angela Wünsche）于1998年在链式梯度法、边际和最大似然估计中建立了与最小偏差方法的联系。

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自。原始发表：2025-01-14，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent 删除线性回归汽车模型数据bootstrap