2024年高教社杯全国大学生数学建模C题

2024年高教社杯全国大学生数学建模C题

前言

大家好，我是fanstuck。数学建模不仅是解决复杂现实问题的一种有效工具，也是许多学科和行业中的关键技能。从工程、经济到生物、环境等多个领域，数学建模为我们提供了将实际问题转化为数学形式，并利用数学理论和方法进行求解的强大能力。然而，对于许多初学者而言，如何快速准备数学建模，掌握并运用各种建模技巧，仍然是一个亟待解决的挑战。

作为一名从事数学建模多年的博主，专注数学建模已有五年时间，期间参与了数十场不同规模的建模比赛，积累了丰富的经验。无论是模型原理、建模流程，还是各类题目分析方法，我都有深入的理解。为了帮助更多的建模爱好者，我都会在这个专栏中免费分享我的建模思路、技巧以及部分源码。每一场数模比赛，只要我有时间，我都会第一时间提供免费的开源思路和详细解答，力求让每位小伙伴都能快速掌握并应用数学建模的方法。无论你是刚入门的新手，还是经验丰富的选手，相信这里的内容都能为你带来启发。在此专栏中，你将到最新的比赛思路、详细的分析过程、完整的代码实现！希望大家能够持续关注，不错过任何一个精彩的建模干货。

赛题2

根据经验，小麦和玉米未来的预期销售量有增长的趋势，平均年增长率介于5%~10%之间，其他农作物未来每年的预期销售量相对于 202 年大约有±5%的变化。农作物的亩产量往往会受气候等因素的影响，每年会有±10%的变化。因受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长5%左右。粮食类作物的销售价格基本稳定；蔬菜类作物的销售价格有增长的趋势，平均每年增长5%左右。食用菌的销售价格稳中有降，大约每年可下降1%~5%，特别是羊肚菌的销售价格每年下降幅度为5%。 请综合考虑各种农作物的预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的不确定性以及潜在的种植风险，给出该乡村 2024~200 年农作物的最优种植方案，将结果填入 result2.xlsx 中（模板文件见附件 ）

赛题解析

2024年高教社杯全国大学生数学建模C题-农作物的种植策略详解+思路+Python源码(一)。

主要思路

1.针对不确定的参数（销售量、亩产量、种植成本、销售价格）设定合理的波动范围或增长率区间，构造多个情景 (Scenario)；

2.在每个情景下，参数取不同的组合值，从而获得若干个可能的未来情形；

.通过情景优化或鲁棒优化方法，得到对所有情景都具有较好表现的种植方案，从而降低决策对单一预测的依赖，规避种植风险。

1.不确定参数及其波动规律

根据题意，未来 2024~200 年各项参数大致有以下变化趋势（对比 202 年或上一年）：

1.预期销售量D_{j,s,t}

• 小麦、玉米：年增长率 5% ~ 10%；
• 其他农作物：±5% 以内波动。

2.亩产量Y_{j,i,s,t}

• 受气候等因素影响，每年可能有 ±10% 的变化。

.种植成本C_{j,i,s,t}

• 每年平均增长 5% 左右（可能是个区间，如 % ~ 7%）。

4.销售价格P_{j,t}

• 粮食类：价格基本稳定（可视为 0% ~ 2% 小幅波动）。
• 蔬菜类：平均每年增长 5% 左右（可设 % ~ 7% 的区间）。
• 食用菌：价格每年下降 1% ~ 5%，其中羊肚菌为 5% 稳定下降。

2.建立情景 (Scenario) 集合

要在一个模型中综合考虑不确定性，常用做法之一是“场景分析 (Scenario Analysis)”。可令:

表示一组可能的未来情景（ω∈Ω）。在每个情景下，对上面提到的参数做不同组合的增减或增速设置。例如：

• 根据最乐观、最悲观以及若干中间情况，构造 ~5 个或者更多情景。
• 也可以按拉丁超立方采样 (Latin Hypercube) 或蒙特卡洛随机抽样方式从增幅区间中采样若干组数值，构造场景集合。

这样，就能在模型中对每个情景下的参数

分别赋值。

示例：

• ω=1：“乐观”场景，小麦玉米销售量增速取 10%，亩产量正向波动 +10%，蔬菜价格增长 +7%，食用菌价格仅 -1% 等。
• ω=2：“悲观”场景，小麦玉米销售量增速取 5%，亩产量 -10%，蔬菜价格仅 +%，食用菌价格 -5% 等。
• ω=,4...:更多中间场景。

在每个场景下，时间序列 (2024~200) 的逐年累积变化率也可按照各自假设进行编排。

1. 决策变量

如同问题 1 中的决策变量x_{i,j,s,t}（第 t 年第 s 季地块 i 种作物 j 的面积）仍保持不变。区别在于，若要在所有情景中使用同一套种植方案，可称之为先验型 (Here-and-ow) 决策；如果允许每个情景下种植决策随之调整，则是事后型 (Wait-and-See) 决策。农业中通常要先选好种植方案再面对不确定的市场与气候，因此更多情况下我们考虑“同一套方案”在不同情景下的表现。

2. 情景目标的常见处理方式

期望收益最大化 (Stochastic Optimization)

其中 Z^{ω}为在情景 ω 下的收益。这种做法力图让平均收益最高，但可能在某些悲观情景下收益很差。

最小后悔值 (Minimax Regret) 或 极小化最差收益 (Maximin)

• Maximin：maxmin_{ω∈Ω}Z^ω，即让最差情景下的收益最高，注重稳健性。
• Minimax Regret：需定义“后悔值 (Regret)”为“对该情景最优解与本解在该情景下收益的差”。然后最小化最大后悔值。

加权综合 (混合方法)

• 设置一个风险系数 λ，在最大期望收益与最大化最差收益之间做加权或分层多目标。

在实践中，期望收益和风险稳健性往往都需要考量，可使用多目标或在目标函数中增加惩罚项。

其中 α∈[0,1] 控制对“平均收益”和“最差收益”的重视程度。

. 整合到数学模型

若采用单一解对所有情景生效，即对x_{i,j,s,t}不增加场景索引，而参数随情景变化，则模型主体可写为：

集合增加：ω∈Ω

产量:

超产/不足定义（参考问题 1），但要在情景 ω下分别定义U_{j,s,t}^{ω},W_{j,s,t}^{ω}

情景收益：

或 maximin、minimax regret 等不同形式。

• 其余约束（例如豆类轮作、不连续重茬等）在所有情景下均相同，无需增加情景下标，因为轮作与重茬是对种植方案本身的要求，独立于外部市场波动。

题中还提到“潜在的种植风险”，通常可在模型中引入风险度量：

• 若产量或市场价格低时，收益会受损；
• 或者因为投入成本逐年攀升导致利润下降等。

常见做法是在模型中加入VaR（价值-at-风险）、CVaR（条件价值-at-风险）等风险约束，也需要场景分析来估计在高损失场景下的概率与期望损失。

其中 α 是置信水平，η 是可接受的损失阈值。也可以在目标函数中加入惩罚项。这些方法实现起来较复杂，需要在每个情景下计算收益或损失，然后通过额外的变量与约束来表达 VaR / CVaR。对于简单的竞赛建模，也可通过控制“最差收益”*或*多目标权衡平均收益与最差收益的方式来替代。

1.数据准备

对每个t∈{2024,…,200} 和每个情景 ω，生成不确定参数：

​

可以将这些数据存于表格或字典结构中（如 Python 里 dict[(j,s,t,omega)] 形式）。

2.模型构建

• 引入场景索引 ω，并根据选定的鲁棒优化目标(最大期望收益，或 maximin，或带风险惩罚) 构建对应的目标函数。
• 其他约束（土地、轮作、不连续重茬等）同问题1，保持对所有情景通用。

.求解与输出

• 求得的最优解

不带情景下标，表示对所有情景都使用相同种植方案。

• 将结果输出到 result2.xlsx。在报告中可附上各情景下的收益或风险指标对比，展示该方案的稳健性。

Python + Pyomo 情景建模思路

import  as pyo

# ---- 1. 定义基本集合 ----
T = [2024, 2025, 2026, 2027, 2028, 2029, 200]
S = [1, 2]
I = [...]  # 地块
J = [...]  # 作物
Omega = [...]  # 情景集合, e.g. [1,2,,4,5]

# ---- 2. 数据读入或预先生成 ----
# 例如 D[(j,s,t,omega)], Y[(j,i,s,t,omega)], etc.
# 需要将每个omega下的参数都准备好
D = {}
Y = {}
C = {}
P = {}
# ...

# ---- . 建立模型 ----
model = pyo.ConcreteModel("Scenario_Model")

# 决策变量 x_{i,j,s,t} 不含omega下标 (先验决策)
model.x = pyo.Var(I, J, S, T, domain=)

# 对于超产/不足, 在每个场景下都要定义 U_{j,s,t,omega}, W_{j,s,t,omega}
model.U = pyo.Var(J, S, T, Omega, domain=)
model.W = pyo.Var(J, S, T, Omega, domain=)

# y_{i,j,s,t} 同理, 不含omega索引, 因为轮作/重茬对所有情景同一要求
model.y = pyo.Var(I, J, S, T, domain=pyo.Binary)

# ---- 4. 约束 ----
# 与问题1类似, 这里省略重复, 只展示其中的情景相关部分.

# (a) 产量 = sum_i (Y_{j,i,s,t,omega} * x_{i,j,s,t})
def Q_expr(model, j, s, t, omega):
    return sum(Y[(j,i,s,t,omega)] * model.x[i,j,s,t] for i in I)
model.Q = pyo.Expression(J, S, T, Omega, rule=Q_expr)

# (b) U, W 定义
def U_rule(model, j, s, t, omega):
    return model.U[j,s,t,omega] >= model.Q[j,s,t,omega] - D[(j,s,t,omega)]
model.UCtraint = pyo.Ctraint(J, S, T, Omega, rule=U_rule)

def W_rule(model, j, s, t, omega):
    return model.W[j,s,t,omega] >= D[(j,s,t,omega)] - model.Q[j,s,t,omega]
model.WCtraint = pyo.Ctraint(J, S, T, Omega, rule=W_rule)

# 其余: 土地约束, y与x关联, 不连续重茬, 豆类轮作等, 与问题1一致（不含omega索引）。

# ---- 5. 目标函数: 以期望收益为例 ----
def obj_rule(model):
    # 先计算每个omega下的收益
    # 示例使用"情形(1) 超产无收益"写法, 也可改成情形(2)
    revenue_omega = []
    for omega in Omega:
        # Revenue in scenario omega
        rev_omega = 0
        cost_omega = 0
        for t in T:
            for s in S:
                for j in J:
                    rev_omega += P[(j,t,omega)] * (D[(j,s,t,omega)] - model.U[j,s,t,omega])
                for i in I:
                    for j in J:
                        cost_omega += C[(j,i,s,t,omega)] * model.x[i,j,s,t]
        revenue_omega.append(rev_omega - cost_omega)
    # 期望收益(简单平均)
    return sum(revenue_omega)/len(Omega)

model.OBJ = pyo.Objective(rule=obj_rule, sense=)

# ---- 6. 求解 ----
solver = pyo.SolverFactory('gurobi')
results = solver.solve(model, tee=True)

# ---- 7. 输出结果到 result2.xlsx ----
# 同前类似, 将 x_{i,j,s,t} 写入Excel

数据层面：根据题意，需要对 202 年基准值进行逐年“增减”或“增速”设定，构造多情景(omega)，并在 (j,s,t,omega) 维度下记录 {D,Y,C,P} 的具体数值。

模型层面：在问题 1 的基础上，添加情景索引，对产量、销售量、价格、成本等做情景化表达；在目标函数中使用期望型、极小最大损失型或其他鲁棒型目标。

求解输出：将得到一个在未来 7 年 (2024~200) 针对不同不确定情景都比较稳健的种植方案；在 result2.xlsx 中记录最终的 x_{i,j,s,t} 分配即可。

风险控制：如需更深入的风险约束，可考虑 CVaR 等模型；竞赛中常用多场景平均 + 最差情景加权的方式即可基本满足需求。

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