算法的时间复杂度和空间复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度

1.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制

long long Fib(int )
{
 if( < )
 return 1;
 
 return Fib(-1) + Fib(-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

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1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源 。因此 衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的 ，即时间复杂度和空间复杂度。 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

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2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

即：到某条基本语句与问题规模 之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int )
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < ; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < ; ++j)
		{
			++count;
		}
	}

	for (int k = 0; k < 2 * ; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数 ：                                               F()=^2+2*+10 = 10 F() = 10 = 100 F() = 10210 = 1000 F() = 1002010 实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数，那么这 里我们使用大 O 的渐进表示法。

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2.2 大O的渐进表示法

大 O 符号（ Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。 推导大 O 阶方法： 1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。 2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。 使用大 O 的渐进表示法以后， Func1 的时间复杂度为  : O()       = 10 F() = 100       = 100 F() = 10000       = 1000 F() = 1000000 通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执行次数。 另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况： 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 ) 平均情况：任意输入规模的期望运行次数 最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 ) 例如：在一个长度为 数组中搜索一个数据 x 最好情况： 1 次到 最坏情况： 次到 平均情况： /2 次到 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为 O()

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2.常见时间复杂度计算举例

实例 1 ：

代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int )
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * ; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

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实例 2:

代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制

// 计算Func的时间复杂度？
void Func(int , int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < ; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

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实例 :

代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int )
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

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实例 4:

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// 计算strchr的时间复杂度？
ct char * strchr ( ct char * str, int character );

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实例 5:

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// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

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实例 6:

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// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

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实例 7:

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// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t )
{
 if(0 == )
 return 1;
 
 return Fac(-1)*;
}

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实例 8:

代码语言：javascript代码运行次数：0运行复制

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t )
{
 if( < )
 return 1;
 
 return Fib(-1) + Fib(-2);
}

实例答案及分析：

1. 实例 1 基本操作执行了 2+10 次，通过推导大 O 阶方法知道，时间复杂度为 O() 2. 实例 2 基本操作执行了 M+ 次，有两个未知数 M 和 ，时间复杂度为 O(+M) . 实例 基本操作执行了 10 次，通过推导大 O 阶方法，时间复杂度为 O(1) 4. 实例 4 基本操作执行最好 1 次，最坏 次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O() 5. 实例 5 基本操作执行最好 次，最坏执行了 (*(+1)/2 次，通过推导大 O 阶方法 + 时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(^2) 6. 实例 6 基本操作执行最好 1 次，最坏 O(log) 次，时间复杂度为 O(log) ps ： log 在算法分析中表示是底 数为 2 ，对数为 。有些地方会写成 lg 。（建议通过折纸查的方式讲解 log 是怎么计算出来的） 7. 实例 7 通过计算分析发现基本操作递归了 次，时间复杂度为 O() 。 8. 实例 8 通过计算分析发现基本操作递归了 2^ 次，时间复杂度为 O(2^) 。（建议画图递归栈帧的二叉树讲解）

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.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度  空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大 O 渐进表示法 。 注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例 1 ：

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// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

实例 2 ：

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// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return ULL;

	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

实例 ：

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// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t )
{
	if ( == 0)
		return 1;

	return Fac( - 1) * ;
}

实例答案及分析：

1. 实例 1 使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1) 2. 实例 2 动态开辟了 个空间，空间复杂度为 O() . 实例 递归调用了 次，开辟了 个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为 O()

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4. 常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下：

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5. 复杂度的oj练习

旋转数组OJ链接：/

本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。 原始发表：2024-12-16，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent 删除前往查看递归函数计算机算法int